Упражнение 162 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии - ответы

162 Прямая MA проходит через точку A плоскости а и образует с этой плоскостью угол ф0 * 90°. Докажите, что ф0 является наименьшим из всех углов, которые прямая MA образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку А. Решение Обозначим буквой H основание перпендикуляра, проведенного из точки M к плоскости а, и рассмотрим произвольную прямую p в плоскости а, проходящую через точку A и отличную от прямой АН. Угол между прямыми AM и p обозначим через ф (рис. 57) и докажем, что ф > ф0. Из точки M проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то ф = 90° и поэтому ф > ф0. Рассмотрим случай, когда точки A и N не совпадают (см. рис. 57). Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ANM и AHM, поэтому sin ф = 444, sin ф0 = 4r^r- Так AM AM как MN > MH (MN — наклонная, MH — перпендикуляр), то из этих двух равенств следует, что sin ф > sin ф0 и поэтому ф > ф0.