Упражнение 556 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии - ответы

556 Основанием конуса с вершиной P является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость а перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса гг, где O1 — точка пересечения плоскости а с осью PO, PO a T1 =^^-г (см- Рис- 152). Решение Докажем сначала, что любая точка M1, лежащая в плоскости а на окружности радиуса T1 с центром O1, лежит на некоторой образующей конуса, т. e. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой M точку пересечения луча PM1 с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников PO1M1 и POM (они подобны, так как имеют общий острый угол P) находим: OM = ^- • О, M1 = —~ r, - r, т.е. точка M лежит на PO1 1 1 PO1 1 окружности основания конуса. Следовательно, отрезок PM, на котором лежит точка M1, является образующей конуса. Докажем теперь, что любая точка M1, лежащая как в плоскости а, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса T1 с центром O1. Действительно, из подобия треугольников PO1M1 и POM (PM — образующая, проходящая через точку M1) PO PO имеем O1M1 = ^^-'ОМ-^^-г = г1. Таким образом, окружность радиуса T1 с центром O1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью а, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью а.